II le trajet de la fusée

La trajectoire effectuée

 

Notre fusée à eau

 

a)          Constat

Nous avons fait une dizaine de lancés avec des paramètres différents. Ainsi, en résumant les autres chapitres, nous avons étudié la trajectoire effectuée et la hauteur maximale k atteinte en fonction de différents paramètres à savoir :

-     La présence ou non d’ailerons sur le bas de la fusée

-     La quantité d’eau contenue dans le réservoir

-     La présence de sable ou non dans le « cockpit »

Tout d’abord, nous avons pu observer que la présence d’ailerons, bien qu’elle fasse diminuer l’altitude de la fusée à son apogée, augmentait très sensiblement la stabilité de la fusée lui donnant une trajectoire plus directe. Nous avons donc décidé de conserver les ailerons pour la suite des expériences.

Ensuite, nous avons fait différents tests afin de savoir quel est le meilleur rapport quantité d’eau/ volume du réservoir. Nous avons vu que le meilleur rapport était celui de 330 ml d’eau pour un réservoir d’un litre. En effet c’était avec cette configuration que l’apogée était la plus haute (voir image 1). Nous avons donc gardé cette option.

Image trajet 1

Image1 : Hauteur maximale de la fusée en fonction de la quantité d’eau dans le réservoir

 

Enfin, nous avons essayé de mettre du sable dans le cockpit pour essayer de stabiliser la fusée. Celle-ci étant déjà stabilisée par les ailerons, nous n’avons que peu gagné en stabilité et surtout beaucoup perdu en hauteur. Nous avons donc décidé d’oublier cette idée, pas à la hauteur de nos attentes.

 

 

b)          Etude des phases de vol

 

La trajectoire de la fusée à eau est parabolique, comme tout objet lancé soumis à la gravitation terrestre. Par la même occasion, nous pouvons repérer plusieurs phases dans le trajet de la fusée à eau (voir image 2). Ce sont les suivantes :

-       La phase de propulsion[1] qui est la seul phase qui a une poussée. Elle fonctionne grâce au principe d’action réaction (la fusée propulse l’eau puis l’air hors de son réservoir et la fusée part dans la direction opposée)

-       La phase ascendante[2]  où la fusée est propulsée seulement par son énergie emmagasinée lors de la phase de propulsion selon le principe d’inertie. La vitesse et donc l’énergie cinétique de la fusée diminuent progressivement durant cette phase à cause des frottements d’air.

-       L’apogée [3] où la fusée, n’ayant plus aucune vitesse, se retourne pour amorcer sa descente.

-       Enfin la phase descendante[4]  où la fusée redescend et gagne de la vitesse au fur et à mesure qu’elle perd de l’altitude car elle est attirée par la Terre.

 

                                  Image trajet 2Image 2 : Différentes phase du trajet d’une fusée à eau

 

  La fusée XFLR-6

 

De nos jours, la trajectoire d’une fusée allant de la Terre à la Lune n’est pas droite comme celle de la fusée d’Hergé.

  En effet, avant d’envoyer Armstrong et ses acolytes sur notre satellite, la NASA avait pensé à trois projets de vol différents, qui restent de nos jours les trois manières permises par les moyens actuels. Les voici :

 

Les ingénieurs de la NASA avaient pensé à lancer une fusée qui effectuerait un trajet direct vers la Lune. C’est cette méthode qui ressemble le plus à celle employée par Hergé (voir image 3). Seulement là où la NASA avait pensé à envoyer une fusée à 5 étages pour ne revenir sur Terre qu’avec un seul, Hergé, lui, propose une fusée plus petite et qui conserve l’intégralité de ses étages durant tout le vol, ce qui est impossible, même avec les moyens actuels.

Image trajet 3Image 3 : La trajectoire directe de la XFLR-6

 

 

Un deuxième plan de vol consiste en des lancements séparés du vaisseau et du réservoir de propergols qui se rejoigneraient en orbite terrestre.

 

La dernière technique consiste à envoyer une fusée faisant au moins une fois le tour de la Terre avant de se rapprocher de la Lune et de faire aussi un tour de Lune avant d’alunir en effectuant « un grand huit » sur le trajet. Cela économise de l’énergie puisque cela permet d’éviter de subir l’attraction gravitationnelle de la Terre et ainsi de pouvoir éteindre les moteurs pendant que la fusée est en orbite. Cela limite aussi la consommation d’énergie durant le trajet entre la Lune et la Terre en atteignant au moins la ligne où l’attraction de la Lune prend le pas sur l’attraction terrestre. Cela nécessite de rester aussi près que possible de la ligne qui joint les deux centres des corps (voir image 4). 

Image trajet 4 

Image 4 : La trajectoire effectuée par Apollo 11 (sans prendre en compte le mouvement de rotation de la Lune)

 

 

Si les deux premières méthodes n’ont pas été retenues, cela est dû à leur prix trop important car elles exigeaient une fusée et un atterrisseur de trop grosse taille.

Note : La fusée de Tintin, conservant l’intégralité de ses étages, se trouve dans l’obligation de faire demi-tour afin d’alunir sur ses pieds : c’est le rôle de son moteur latéral durant la "manœuvre de retournement" (voir image 5). Mais si cette phase est bien effectuée, Hergé commet quand même une erreur. En effet, aucun moteur ne va dans le sens contraire afin d’enrayer la rotation de la fusée sur elle-même. Etant dans l’espace, aucun frottement n’empêcherait la fusée de continuer ses rotations selon le principe d’inertie.

Image trajet 5

Image 5 : La manœuvre de retournement de la XFLR-6.

 

 

Le temps de trajet et la vitesse

 

  1) La fusée à eau

 

     a)    Calcul de la vitesse moyenne

 

Si le calcul de la vitesse à tout instant est sûrement un des calculs le plus intéressant, c’est aussi l’un des plus difficiles. Ainsi, nous pouvons seulement calculer dans un premier temps la vitesse moyenne de notre fusée à eau, puis ensuite, à partir du même principe, nous pourrons calculer, en théorie, la vitesse instantanée de notre fusée.

v =d/t                         avec v=vitesse de la fusée (m/s)

d= distance parcourue = 2x alt. max (m)

 t=temps de vol (s)

Ainsi notre fusée ayant atteint l’altitude de 11,18 mètre et ayant volée 2,5 secondes, on a :

V = 11.18x2/2.7 = 8,2 m/s[1] .

Grâce à l’outil statistique du logiciel Tracker, nous avons pu obtenir la vitesse moyenne de notre fusée à eau. Pour cette trajectoire, notre fusée possède en réalité une vitesse moyenne de 6,95 mètres par seconde. La différence est due à la négligence de la forme parabolique de la trajectoire.

 

 

      b)  Calcul de la vitesse de départ

Nous calculons ensuite la vitesse de départ mais surtout quelle doit être la force de la poussée pour que notre fusée à eau puisse décoller. Nous avons recours au Principe Fondamental de la Dynamique dérivé de la deuxième loi de Newton :

 Trajet 1

Avec  Trajet 2  désignant les forces extérieurs exercés sur l’objet

 Trajet 3 étant sa masse inertielle (qui se révèle égale à sa masse gravitationnelle)

Trajet 4 correspondant à l’accélération de son centre d’inertie G

Ainsi, pour savoir quelle doit être la poussée minimale de la fusée pour qu’elle décolle, nous en déduisons le raisonnement suivant :

m  Trajet 2> 0 car la fusée doit avoir une poussée supérieure à 0 dans la direction choisie pour décoller

Pour simplifier, on prendra en compte seulement la force gravitationnelle de la Terre sur la fusée (Fg) et la poussée de cette dernière (Ff), les autres forces seront considérées comme nulles.

m (FfFg)      car la fusée décolle à la verticale

 Or daprès le chapitre sur le moteur de la fusée, on a 

  • -Qm x v avec Qétant le débit massique en kg/s

      V étant la vitesse du fluide

              AINSI, Ff = pxSxv2 avec p étant la masse volumique en kg/m-3

      S la surface d’éjection en m2

     Et V la vitesse du fluide en m/s

Image trajet 6       selon la loi de Newton

 

Avec G étant la constante gravitationnelle

        Ma et Mb étant la masse des deux corps

Et d la distance qui les sépare.

Lorsquil sagit dune interaction avec la Terre, la distance est résuméà la somme du rayon de la Terre (RTerre) et de laltitude de lobjet (h)

Ainsi, Ffusée/Terre = G

 Donc,  = (p.S.v2 - G (Mfusée . MTerre)/ (RTerre + h)2))/(Mfusée)

 Donc pour notre fusée à eau :   = (0.507 –9.81x10-14 (3.5x10-2+Meau))/ (3.5x10-2+Meau)

 Donc pour étudier l’accélération en différents points, il faut maitriser la masse de l’eau dans le réservoir.

 

Malgré cela, nous pouvons quand même en déduire que l’accélération de notre fusée au départ (avec 300 mL d’eau) est de 1,5 m/s/s[1] .

On peut aussi en déduire qu’une fois la phase propulsée terminée, seule la force gravitationnelle subsiste et la masse se stabilise. L’accélération est donc constante. Elle est de la valeur de la pesanteur terrestre soit 9,81 m/s/s[2] .

 

Pour que notre fusée quitte complètement la Terre, il faudrait que l'énergie mécanique de l'objet soit nulle. Or l'énergie mécanique est la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle gravitationnelle.
Ces dernières ont pour valeurs :

       Epg = -Gm.Mt/Rt     avec m étant la masse de l’objet en kg

G étant la constante gravitationnelle

Mt étant la masse de la Terre en kg

       et Ec = (1/2).m.v² Rt le rayon de la Terre en m

v étant la vitesse de l’objet en m/s

On a donc : v2 = (2.G.M)/Rt

Soit une vitesse de l'ordre de 11.2km/s soit 40320km/h. Cette vitesse est appelée vitesse de délibération.

 

       c)Calcul de vitesse instantanée

 

 Lors d'un déplacement courant composé naturellement d'une succession de phases d'accélération ou de freinage, la vitesse n'est pas constante. Si on peut calculer la vitesse moyenne comme indiqué ci-dessus, le calcul de la distance parcourue entre deux instants t1 et test moins immédiat et nécessite de connaître la vitesse instantanée à tout instant t Î [t1 ; t2].

 

 Dans la suite, on suppose que le mouvement est rectiligne.

 On désigne alors par x(t) l'abscisse du mobile à l'instant t, x(t + Dt) son abscisse à l'instant t + Dt et Dx = x(t + Dt) - x(t).

 La vitesse moyenne du mobile entre les instants t et t + Dt est égale au rapport et on définit sa vitesse instantanée à l'instant t, notée v(t), comme la limite de ce rapport quand t tend vers 0.

Image trajet 7

 

Grace au logiciel Tracker, nous arrivons à connaitre la hauteur de la fusée à tout instant. Nous avons donc établi le graphique de l’évolution de la hauteur en fonction du temps. Nous avons obtenu une courbe. Il suffit donc de couper cette courbe en deux : d’une part la phase propulsée (lorsque le principe d’action réaction fonctionne encore, d’autre part le reste de la courbe où le poids de la fusée est la seule force subie par celle-ci.

Image trajet 8

Image 6: Graphique réalisé sur Tracker, représentant la courbe de la vitesse en fonction du temps (bleue)

 

Il faut ensuite en déduire l’équation de la courbe. A partir de ce moment là, il est possible d’obtenir la dérivée de cette courbe, acquérant ainsi la vitesse instantanée de la fusée pour n’importe quel point du trajet. Malheureusement si la théorie est là, son application est bien trop complexe pour nous. Nous nous sommes donc contentés de récupérer les données de Tracker.

 

  La fusée XFLR-6

 

a)        Calcul de la vitesse et de la distance à différents moments

Nous pouvons remarquer que dans le livre Objectif Lune et On a marchésur la Lune, le contrôleur de la mission nous donne de nombreuses informations quant à la position relative de la fusée par rapport à la Terre. Les voici répertoriées :

Pour Objectif Lune :

  • Planche 60 : la fusée est à 800 km
  • Planche 61 : la fusée est à 1500 km

Pour On a marchésur la Lune :

  • Planche 2 : la fusée est à 4000 km
  • Planche 3 : la fusée est à 8000 km et se déplace à 11 km/s
  • Planche 5 : la fusée se déplace à 13 km/s (et « elle n’est plus soumise à l’attraction terrestre »)
  • Planche 13 : la fusée se déplace à 45 km/s

 Image trajet 9                               Image trajet 10 

 Image 7 et 8 : Le centre de contrôle de tir d’Apollo XII…           … et le bureau du contrôleur de mission de XFLR-6

 

Ces informations nous serviront de base, ce sont elles qui nous permettront de calculer la vitesse et la distance à ces moments précis. Ainsi nous utilisons la formule suivante :

 v2 –v0 = 2a(x1-x0) avec v désignant la vitesse et V0 désignant la vitesse initiale

a désignant l’accélération (m/s/s)

x0 et x1 désignant la position initiale et finale de l’objet (m)

 L’accélération exercée sur la fusée évolue en fonction du temps.

Pour le décollage, on considère que a = 20 m/s/s en prenant une moyenne entre l’accélération nécessaire pour quitter la Terre (voir les calculs de la fusée à eau) et l’accélération que les humains dans la fusée peuvent supporter (voir image 8).

Image trajet 11Image 8 : Tolérance à l'accélération du corps humain d'après la NASA

Ainsi on en déduit donc :

v2= 40x                                avec v en m/s

et d = x = v2/40 et d en m

 

 

Pour le reste du trajet, une fois le moteur atomique enclenché, on considère que a = 6 m/s/s

v2= 12(x1-x0) +v0                     avec v en m/s

Note : L’altitude de 800 km correspond à l’altitude de satellisation à partir de laquelle la chute sur Terre intervient après mille ans, soit la durée nécessaire pour que disparaisse la radioactivité dangereuse du moteur (à uranium). Hergé avait donc pensé à tout !

En effectuant ces calculs pour chacun des moments correspondant à une information donnée par le contrôleur, on obtient le tableau suivant :

et d = x1 = (v2-v0)/12 +x0 et d en m

Image trajet 12

    

    b) Calcul du temps de trajet

 

D’après le tableau précédent et d'après la formule v= a*t, on en déduit que ttrajet =v/20 et on obtient ce nouveau tableau :

Image trajet 13

On trouve par les même calculs que le point où la fusée se retourne est situé à 188 100 km de de la Terre (avec une vitesse de 47,4 km/s). Le temps écoulé est alors de 2h 47s. En considérant que ce point est au milieu du voyage aller (la distance Terre/Lune est de 376 200 km) et que le reste du voyage dure à peu près autant que la 1ere partie, le trajet vers la Lune aurait duré 4 heures. Ce trajet est donc beaucoup plus rapide que nos fusées actuelles qui mettent beaucoup plus longtemps (par comparaison la mission Apollo XI a mis trois jours et deux heures pour atteindre la Lune).

Note 1 : Si dans la planche 3, la vitesse trouvée est légèrement différente de celle annoncée par Hergé (10,9 km/s au lieu de 11km/s), ceci est dû au fait que nous n’avons pas pris en compte l’allègement de la fusée due aux gaz brulés.

Note 2 : Hergé explique à travers les dires du professeur Tournesol que lorsque la vitesse de la fusée est égale à 13 km/s, la fusée n’est plus soumise à l’attraction terrestre. Ceci est une erreur puisque la fusée sera toujours soumise à celle-ci, mais Hergé voulait simplement exprimer le fait que la vitesse de la fusée était supérieur à la vitesse de délibération de la Terre (voir aussi « calcul expérience »).

 

                             Image trajet 14

                            Image 12 : Mot et dessin d’Hergé à l’attention de Neil Armstrong à la suite de la mission d'Appolo 11

 

Récapitulatif

 

Pour résumer, nous pourrions exprimer ceci dans ce tableau récapitulatif comparant la fusée de Tintin, notre fusée à eau et les fusée de la NASA (ici Saturn V, la fusée de la mission Appolo XI) sur le domaine du trajet effectué par ces fusées.

                                          Image trajet 15

 

 

                                                    Image trajet 16

Commentaires (1)

Victoire
  • 1. Victoire | 17/12/2017
Bonjour,
Travaillant sur mon TPE de première Ssi, sur le thème du voyage lunaire, je me demandais comment calculer l'énergie potentiel de pesanteur avec comme formule:
Epp= m x g x H (H= différence de hauteur entre deux positions de la fusée)
La masse du vaisseau sur lequel on travail (DragonV2) est de 4 200 kg et g= 1,61 N/Kg
Sauriez vous comme trouver H?
Merci de votre réponse et votre document est très intéressant

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